El Teorema de Incompletitud es bastante sencillo de entender una vez hemos introducido la paradoja del mentiroso que se basa en la siguiente frase: "Esta afirmación es falsa." . Si ésta es verdadera, esto significa que la afirmación es falsa, lo cual contradice nuestra primera hipótesis. Por otra parte, si la afirmación es falsa, la afirmación debe de ser verdadera, lo cual nos lleva de nuevo a una contradicción. Gödel hizo manipulaciones para trasladar el lenguaje natural del mentiroso al lenguaje de las matemáticas. Lo que probó es comparable a la afirmación
"Este teorema no tiene demostración"
Lo sorprendente es que él probó el teorema!!. Diseñó su propio lenguaje lógico para esto. En definitiva, descubrió que existían afirmaciones verdaderas que no podían ser probadas dentro del sistema. Gödel probó que todo sistema formal que contuviera a la aritmética elemental (un ejemplo de este sistema serían las Matemáticas como un todo) es incompleto, es decir, Gödel demostró que no todas las verdades matemáticas pueden ser alcanzadas.
Más sencillamente, que en cualquier sistema que contenga la aritmética, existe por lo menos una fórmula, que, aún siendo verdadera, no podrá jamás ser demostrada. No importa cuál sea el conjunto de axiomas que se use: siempre habrá algo, que, si bien es verdadero, no se puede demostrar.
Es decir, en el seno mismo de las matemáticas, hay cosas no alcanzables, lugares adonde la paciente deducción no llegará jamás. Naturalmente, este curioso resultado, no afecta para nada a la utilización de las matemáticas por el resto de los científicos, ni al papel central que ésta juega en todo el sistema de las ciencias, pero de alguna manera, limita su omnipotencia.
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